古希腊人，古罗马，罗马共和国，东罗马帝国他们之间是什么关系？
这个问题几乎包含了整个欧洲历史。太长太杂。这里小何简要概述一下。
古希腊是城邦制奴隶社会，也是欧洲文明历史的启蒙时期。然而，古希腊却没有所谓的统一国家概念，直到文明晚期压力山大大帝的崛起，把古希腊文明传播至欧亚非大陆，也随着压力山大的去世，希腊（马其顿）帝国也分裂解体了。
古罗马有个传说：创始人是狼养大的孩子，从现在的意大利南部小村逐步向外征服。所以带着狼图腾的民族大旗逐步插遍了欧洲大陆，也是罗马共和的巅峰。在征服的过程中也产生了大大小小的军阀。我们熟知的“凯撒大帝”就是罗马共和最后一任执政官，并未称帝，大帝也是后人追认。
凯撒死后，其养子“屋大维 奥古斯都”团结了凯撒之前的老部下，推翻元老院，成为第一任罗马帝国皇帝。
随着罗马帝国不断的征服，东西跨服过大。逐渐分解成以罗马为中心的西罗马和以君士坦丁堡为中心的东罗马（又称为拜占庭帝国）。
西罗马随着来自北欧及西迁匈奴等蛮族的入侵于公元5世纪灭亡。而东罗马帝国（拜占庭帝国）扛到了13世纪被奥斯曼帝国所灭。
以上即是题主问题的简略答复
古希腊诞生于地中海文明，是地中海众多城邦组成的松散联盟，为了对抗波斯结成以雅典为首的联盟，凭借着这一影响力，雅典把他们的文化传播向整个希腊世界，行程了古希腊，其中有一个城邦叫罗马。
后来马其顿城邦出了一个亚历山大大帝，东征波斯一直打到今天的伊拉克，中途染病死了，马其顿帝国分崩离析，罗马城邦趁机崛起控制了地中海周边以及原马其顿帝国的大部分希腊化的地区，形成了罗马共和国。
罗马共和国末期，凯撒上位从元老院手中夺取政权，将罗马共和国改为帝国，自己登基为王，晚年昏庸被自己的仆从刺死在殿中，期养子屋大维打败竞争者夺取政权，正式让罗马帝国稳固。之后到君士坦丁大帝，因为行政需要，把首都从罗马迁到了君士坦丁堡，也就是如今土耳其首都伊斯坦布尔，之后狄奥多西一世在死前接受基督教洗礼，改基督教为国教，并为防止帝国因自己两个儿子夺权分裂，将罗马帝国一分为二，分别是以罗马为首都的西罗马，和以君士坦丁堡为首都的东罗马。
自此，东西罗马帝国局面出现。
“古希腊”指的是古文明而非国家，是古希腊民族在希腊地区建立起的若干小国家共同孕育起的文明。“古罗马”罗马时代的总称，包括“罗马王国、罗马共和国、罗马帝国”。“东罗马帝国”是“罗马帝国”时代分裂出的两个政权之一。文化上是古罗马继承了古希腊文明。社会制度上是逐渐在进步：由古希腊松散的小城邦到罗马王国直至罗马帝国时期形成集权制国家。政权上是古罗马发展到罗马共和国时期吞并了古希腊诸国，发展到罗马帝国时代分裂成东、西罗马帝国两个国家。
先是有了古希腊的城邦，比如雅典，斯巴达。都是一些小国家，小国寡民。波斯人入侵，毁灭了希腊文明。然后在希腊的废墟上崛起了罗马共和国。罗马先是共和国，然后在屋大维执政时期慢慢转变为帝国，然后就有了罗马帝国。而后在狄奥多西大帝死后，罗马分裂成东西两块，就是西罗马和东罗马（拜占庭）帝国。
